Reflexión

 

La matemática y el resto del mundo

Como estudiante de matemáticas siempre es una pesadilla responder a la pregunta “¿Qué es lo que estudian en matemáticas?” No es que sea una pregunta trivial, al contrario, es una bastante complicada. ¿Estudiamos los números? Se podría decir que sí, pero es quedarse demasiado corto. ¿Estudiamos estructuras? Sí, definitivamente, pero, ¿qué significa eso para alguien ajeno al quehacer matemático? Quizás hasta terminé pensando que los matemáticos inspeccionan edificios. Al final, termino respondiendo algo como “Bueno, a grandes rasgos, estudiamos conjuntos de cosas y cómo podemos definir sumas u otras operaciones en ellos”. ¿Es una respuesta que me satisfaga? No completamente, pero, hasta ahora, es lo mejor que tengo.

El gran conflicto que me genera esa pregunta me hace pensar que existe un gran distanciamiento entre el mundo matemático y el resto del mundo. Siendo así, ¿cómo llega alguien del “mundo exterior” al mundo matemático?, ¿cómo llegué yo aquí? En mi caso, empecé queriendo estudiar física, una ciencia de la que todos tenemos una idea más  o menos vaga de lo que estudia, pero mi incapacidad para las cosas experimentales me hizo escoger matemática. ¿Cómo pasó? Simplemente me pregunté “¿Qué es física sin laboratorios?” e inmediatamente me respondí “¡Pues matemática!”. En retrospectiva, esa es una noción muy pobre de lo que es esa ciencia, y sólo la pude cambiar cuando ya estaba estudiando matemática. Viéndolo así, no es para sorprender que mi primer semestre haya sido un festival de frustración.

¿De quién o de quiénes es culpa que la matemática tenga un halo de misterio para el grueso de la población? Un buen punto de partida es que a la gente no le interesa ahondar en cosas que le parecen que no le afecta o que no le sirven para entretenerse. ¿Cuántas personas en el país están al pendiente de la tensión política entre Corea del Norte y Corea del Sur? Sin duda muchísimas menos que las que están siguiendo el drama de la eliminación del descenso en los torneos del fútbol mexicano. Pues bien, en una analogía, pareciera que la matemática es para el mundo lo que el conflicto coreano para los mexicanos. Es interesante pensar que así como alguno podría decir “¿por qué le tendría que interesar a un mexicano lo que hagan los coreanos?, ellos están al otro lado del mundo”, otro podría sostener “¿por qué me tendría que interesar la matemática?, ¿cuándo voy a tener que resolver una integral triple para comprar un kilo de manzanas?”

De aquí hay varias cosas a considerar, empezamos comentando un poco sobre la didáctica y la matemática:

La matemática y el hastío

Ya estudiando la carrera, asistí a una plática de divulgación de la ciencia. Entre los asistentes, habían algunos estudiantes de preparatoria y, cuando el ponente preguntó al público qué era lo que pensaba cuando escucha la palabra “matemática”, algunos de ellos respondieron “derivadas e integrales”. Lo trágico es que la idea de que la matemática gira alrededor de derivadas e integrales está muy extendida. (Aunque es graciosa cuando se piensa que el cálculo ni siquiera es una rama de la matemática.)  ¿Por qué ha pasado esto? Yo diría que es una consecuencia de la mala didáctica. El último contacto obligatorio que una persona (que no deserta de sus estudios) tiene con la matemática es un curso de cálculo diferencial e integral. El asunto es que en esos cursos lo común es que no se profundice en los conceptos o en probar afirmaciones, sino simplemente en memorizar formularios. ¿Cómo se puede culpar a alguien de no saber lo que es la matemática cuando lo último que tuvo que ver con ella fue recordar, de entre un mar de fórmulas, una para calcular la integral de una expresión llena de senos, cosenos, tangentes y exponenciales?, más aún si estos últimos conceptos nunca los entendió del todo.

En este punto se puede plantear una pregunta interesante; ¿para ser profesor hay que ser un divulgador? Pienso que es indispensable que lo sea. Por ejemplo, para un profesor de literatura, ¿cuál sería la manera más efectiva de hacer que un alumno lea un libro; dejare de tarea un reporte que valdría el 50% de la calificación final ó exponer amenamente y a grandes rasgos la trama del libro de tal manera que el alumno quede intrigado por lo que pasa en la historia? Creo que es claro que la segunda opción es la mejor. Voy más allá, la primera opción es hasta contraproducente, pues, muchas veces cuando te obligan a hacer algo, lo terminas haciendo de mala gana.

En este sentido, y regresando a la impartición del curso de cálculo diferencial e integral en la educación media superior, lo que se consigue con la memorización de fórmulas es que el estudiante termine fastidiado de la materia y, en consecuencia, que cuando consiga aprobarla, opté por olvidar todo lo relacionado a ella. Al final, lo que se cosecha de ese paradigma educativo es gente que no sabe lo que se hace en la matemática.

¿Qué alternativa hay? Con el riesgo de sonar pretencioso, respondería que ‘Enseñar a pensar’.

La matemática y lo abstracto

Cuando damos un paso o un salto, los fenómenos físicos nos aseguran que no saldremos disparados a la nada cósmica y que continuaremos pegados a la corteza terrestre. Similarmente,  cuando comemos, los fenómenos químicos y biológicos nos aseguran que nuestra comida se transformará en energía. Así, en el día a día, la física, la química y la biología actúan sobre nosotros y nuestro entorno. ¿Dónde está la matemática?

Claro, no se puede entender la física sin matemáticas, y se puede decir que la química es “física de materiales” y que la biología es química aplicada a los seres vivos; por extensión, la matemática está presentes en todas esas ciencias y luego en todos los fenómenos físicos, químicos y biológicos que notamos todo el tiempo. Sin embargo, la de la matemática, es una presencia invisible. Nunca veremos un espacio vectorial o una matriz caminando por la calle y la estructura del universo no admite operaciones binarias o relaciones de orden (hasta donde comprendemos). Siendo así, parecería complicado hacer que la gente se interese por esta ciencia intangible, ¿lo es?

Para bien o para mal, los seres humanos hemos hecho del planeta nuestro feudo (yo diría que definitivamente para mal y que más bien es el feudo de unos pocos), ¿cómo fue posible eso? No es un secreto que a través de imponernos con nuestra inteligencia. ¿Y qué es la inteligencia? Pues aseguraría que la capacidad de identificar patrones alrededor para poder predecir o manipular fenómenos. ¿No es más o menos eso lo que hacen los matemáticos; estudiar secuencias lógicas y sus implicaciones? Ciertamente lo es.

De esta manera, el desarrollo de nuestras capacidades cognitivas ha sido el hecho diferencial en la Historia de nuestra civilización, sin embargo, ¿qué papel jugará en nuestro futuro?, o más bien, ¿qué papel debería de jugar?

Si nos fijamos en la naturaleza, las especies compiten entre sí para sobrevivir, y en esa competencia, a lo largo de millones de años y si no hay grandes desastres, van mejorando sus capacidades. Entonces, siguiendo ese ejemplo, ¿los humanos no deberíamos enfocar nuestra existencia a explotar nuestras destrezas al máximo? Y si la matemática permite desarrollar el pensamiento lógico, ¿eso no es ya una razón más que suficiente para alentar el estudio de esta? Por supuesto no digo que toda persona tenga que entender al derecho y al revés la Teoría de Módulos, pero sí que los cursos obligatorios de matemáticas se enfoquen en que los alumnos comprendan los conceptos más básicos y a través de ellos construyan caminos a resultados interesantes.

La matemática por doquier

Es difícil pensar en un concepto más primitivo dentro del mundo de las matemáticas que el de conjunto, cosa que tiene sentido cuando pensamos que, por ejemplo, una figura geométrica es en realidad un conjunto de puntos en el espacio o que los números fueron ideados para contar las “cosas” que hay en los conjuntos.

¿Cuál es la importancia del conjunto resultante (digámosle BASE) de unir al conjunto de todas las palabras del idioma español, al todos los nombres propios y al de todos los signos de puntuación (incluyendo la separación entre dos palabras)?, ¿a poco no cada vez que hablamos o escribimos (desde una palabra, pasando por una oración y hasta llegar al más elaborado discurso) tenemos que elegir uno por uno a elementos de BASE? Esto es que cada cosa que decimos o escribimos es una elección (ordenada y regularmente con repeticiones) de elementos de BASE. Pero ¿qué son esas elecciones sino “eneadas” de BASE o, en otras palabras, elementos del conjunto de las “eneadas” de BASE (al que apodaremos como LENGUAJE)?

Por otro lado, lo idiomas son en realidad formas que los seres humanos creamos para transmitirnos información. Así pues, las palabras oraciones y discursos tienen un solo fin, que es transmitir mensajes. Siguiendo esta línea, podemos pensar en el conjunto de los mensajes que alguien puede transmitirle a otro u otros, llamémosle IDEAS.

Ya en este punto, ¿qué tenemos? Pues un par de conjuntos, que son IDEAS y LENGUAJE, y un “juego” restante para entretenernos, que es el de relación. Sin embargo, para decir o escribir cualquier cosa, ¿no pensamos primero en qué es lo que queremos comunicar y después elegimos la forma en la que queremos hacerlo? Es decir, ¿acaso no elegimos antes que todo a un elemento de IDEAS y luego le asignamos uno de LENGUAJE? ¡Claro que lo hacemos! Siendo así y destacando que para cada mensaje hay varias maneras para expresarlo con palabras (y que cada una de esas maneras es un elemento de LENGUAJE) podemos concluir que el idioma español (así como todos los demás) es en realidad una relación con dominio IDEAS y codominio LENGUAJE. Algunos elementos de esta relación son (“dar a entender que tengo estoy cansado”, (¡,qué, ,ganas, ,de, ,aventarme, ,en, ,mi, ,cama,!)) o (“comunicar que disfruto algo”, (esto, ,es, ,maravilloso)).

Y pues sí, con sólo decir “Buenos días” ya estamos jugando con matemáticas. Lo bonito de todo esto (o al menos curioso) es que si bien nuestros padres o maestros no nos hablaron de conjuntos, “eneadas” o relaciones a la hora de enseñarnos a hablar o leer sí que tuvieron usar ideas intuitivas de esas estructuras algebraicas cuando nos instruían sobre lo importante del orden de las palabras, sobre los signos de puntuación o sobre la interpretación de oraciones simples. En otras palabras, ¡usaron álgebra para hacer pudiéramos comunicarnos!

En fin, ciertamente algo mágico de las matemáticas es que están por todas partes y ni siquiera las notamos…

El sentido común puede no tener sentido

Es verdad cuando nos dicen que “no todo es lo que parece”. Como el sentido común se basa en lo aparente, un resultado inmediato es que le sentido común puede equivocarse. La Teoría de Conjuntos no da cuenta de ello.

La construcción de los números racionales es muy interesante. Primero tenemos que considerar al conjunto de los números naturales, que, como su nombre sugiere, son los que nacieron, de forma orgánica y de la mano con las primeras estructuras sociales humanas, para contar las cosas que había alrededor. Se puede decir que un número natural es el que es resultado de una suma finita de 1’s (por supuesto el 0 es resultado de sumar ninguna vez 1). Para construir el conjunto de los números enteros sólo hay que unir al conjunto de los números naturales con el conjunto de los números “naturales negativos”; en el que cada número sea una suma finita de -1’s (como el 0 es una suma vacía, el 0 positivo y el 0 negativo es el mismo). Ahora bien, para construir el conjunto de los números racionales hay que pensar en el conjunto de los “cocientes” a/b (con a y b números enteros y con b distinto de 0) y decir que dos cocientes a/b y c/d representan el mismo número racional si y sólo si ad=bc. Resulta que la relación (a/b)R(c/d) es una relación de equivalencia y, en consecuencia, genera una partición del conjunto. Así, el conjunto de las particiones de este conjunto es el conjunto de los números racionales. Observemos que el conjunto de los números enteros es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales debido a que si a es un número entero, entonces a/1 es un número racional y a que todos los números racionales de la forma 1/n, con n igual o mayor a 2, no son números naturales.

Como paréntesis, me gustaría hacer hincapié en lo fascinante de las construcciones anteriores. La del conjunto de los números naturales fue bastante rudimentaria y la demostración formal  requiere de conceptos más avanzados como el recursividad, sin embargo, su esencia es que el conjunto de los números naturales, que es un conjunto infinito, puede entenderse como distintas sumas de un elemento. El conjunto de los números enteros lo entendimos como un efecto espejo sobre el conjunto de los números naturales, y finalmente, el conjunto de los números racionales tuvo una construcción más sofisticada, pero básicamente “multiplicamos” conjunto de los número enteros por sí mismo y luego lo “dividimos“ en subconjuntos ajenos. El asunto es que, si nos fijamos bien, la materia prima fue sólo el número 1; de él se alzó todo lo demás haciendo uso de ideas y construcciones abstractas. Entonces, de todo esto, creo que lo más vale la pena rescatar es que la matemática se trata de creación pura.

Continuando y revisando las construcciones anteriores, el sentido común nos indica que, como el conjunto de los números enteros es una extensión del conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros es una extensión de los números enteros, hay más números racionales que números naturales. ¡Pues eso es falso!

Un conjunto A es numerable si existe una función biyectiva entre el conjunto de los números naturales y A. Un resultado interesante al respecto es que la unión de dos conjuntos numerables es numerable y, en particular, el conjunto de los números enteros es un conjunto numerable. La prueba se basa en el hecho de que el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares son conjuntos numerables y su unión, que es el conjunto de los números naturales, es trivialmente numerable.

Ahora, si al conjunto de los números naturales lo denotamos como N, tenemos que existen funciones biyectivas con dominio en NxN (que es como denotamos al producto cruz del conjunto de los números naturales por sí mismo) y codominio en N. Una de esas es enviar cada par (m,n) a . La demostración es algo engorrosa pero no deja de ser ejercicio desafiante. Por supuesto, como la función descrita es biyectiva, también es inyectiva.

Si al conjunto de los números enteros lo denotamos como Z, de lo anterior se sigue que hay una biyección entre  ZxZ y N. Más aún, como  el conjunto de los números racionales es una partición de ZxZ, podemos afirmar que hay una inyección entre el conjunto de los números racionales y N.

Por otro lado, que hay inyecciones de N al conjunto de los números racionales es algo obvio; simplemente hay que señalar que una de esas es tomar un número natural n y mandarlo a n/1; es básicamente la inclusión de un subconjunto en su conjunto.

Finalmente, el Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein nos dice que si tenemos dos conjuntos A y B tales que hay un función inyectiva de A a B y otra, también inyectiva, de B a A, entonces hay una biyección entre A y B. De esta manera, lo que se concluye es que hay una biyección entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números naturales. ¿Qué significa eso? Pues que por cada número natural hay un número racional: ¡hay tantos números racionales como números naturales! Para ser más claro: ¡un “pedacito” de una cosa puede ser del mismo tamaño que la cosa misma!

En esta sección hemos visto que algo que parece obvio termina siendo falso. Entonces, vale la pena preguntarse “¿qué tanto podemos confiar en nuestro sentidos?” o “¿qué tan falsedades asumo como verdades?

Sobre al obesidad mental

Como ya lo he señalado, lo que ha conseguido la civilización humana es gracias a la capacidad del ser humano de entender los fenómenos que pasan a su alrededor. Sin embargo, en el mundo moderno, pareciera que nos estamos ahogando en un mar de banalidades y pereza mental.

Es curioso, la gente no quiere pensar pero sí quiere tener la razón. Sostengo que la libertad de cada quien tiene como frontera el no lastimar intencionalmente a otro; por eso, también sostengo que el que quiera renunciar a desarrollar sus potenciales analíticos y, en vez, destinar su existir a explotar otro tipo de capacidades o simplemente a gozar de los placeres inmediatos, está en su derecho de hacerlo. Eso sí, esa persona tendría que asumir el costo de su decisión y aceptar que no es capaz de dar una opinión válida o seria de temas que ignora.

Los “argumentos” como “lo dijo Pepe, que trabaja en el gobierno y algo ha de saber” o “tú robaste una gallina y entonces lo que digas no es verdad”, son usados por personas que se aferran a una conclusión antes de que si quiera empezar a “debatir”. Esta clase de “argumentos”, contaminan las discusiones y las terminan convirtiendo en festivales de descalificaciones e insultos de los que no se puede rescatar algo valioso. Así, los posicionamientos se convierten en equipos de fútbol y quienes los sostienen en aficionados que cantan desde la tribuna consignas bélicas. Obviamente, no hay concesos y, por tanto, tampoco evolución de ideas.

¿Llegamos a esta penosa situación por accidente? Yo pienso que no. El impase en el que el que se encuentra el desarrollo del pensamiento crítico colectivo mantiene el status quo y eso es bastante conveniente para quienes tienen el poder en él. Es bastante curioso que la industria del entretenimiento masivo se esfuerce en rehacer la Historia o analizar presente desde una sola perspectiva. Un buen ejemplo que es, a través de las películas o series “chatarra”, el papel de la URSS en la derrota de la Alemania nazi se ha minimizado y el de Estados Unidos se ha maximizado, al punto en el que hay una idea generalizada de que Estados Unidos tiene todo el crédito.

Ante todo esto, pienso que una hipótesis válida para explicar la resistencia de la gente al debate genuino es que los productos que nos ofrecen los medios (historias emotivas en todo tipo de formatos) nos crean una realidad construida con base en emociones y cuando alguien o algo desafían esa realidad, lo sentimos como un ataque personal y nuestra respuesta es enojarnos e intentar sostener nuestra versión haciendo uso de todo, incluso de falacias.

Tofo este asunto se torna más desesperanzador cuando observamos que una idea que se ha sembrado muy profundo en el inconsciente colectivo es que el éxito de una persona se mide con el valor de los bienes que haya logrado acumular. Luego, muchas personas viven solamente para perseguir cajas de sonidos y luces o fortunas estériles, algunas incluso sirviéndole de mercenarios a los intereses más mezquinos para lograr alcanzarlos.

En suma, creo que vivimos en un momento histórico en el que el desarrollo colectivo está artificialmente detenido; la gente no renuncia a desarrollar sus capacidades o a venderlas al mejor postor por una decisión meditada, sino por el resultado de un aleccionamiento mediático, que, además, puede significar la condena a muerte de nuestra civilización.

Una selección cósmica

La Paradoja de Fermi nos confronta con una pregunta: si, en teoría, el universo es tan inmenso que debería haber montones de civilizaciones avanzadas, ¿dónde están? Hay varias hipótesis, como que nuestro universo es una simulación de una civilización superior y estamos solos por diseño, que estamos en una arte poco poblada del universo o que esas civilizaciones son tan avanzadas que no comprendemos la manera en que modifican su entorno. Una de esas hipótesis es conocida como el “El Gran Filtro”, y sostiene que existe una prueba que la mayoría de las civilizaciones no pueden superar. Quizás es el desarrollo de la agricultura o algo relacionado con los enlaces químicos que hacen posible las formas de vida multicelulares, sin embargo, ¿y si lo estamos viviendo?, ¿y si esa prueba es entendernos como seres que viven para conocer su entorno?

Me gusta pensar que existe una "selección cósmica", que es como la selección natural que conocemos pero con civilizaciones en vez de seres vivos. En esta selección, el objetivo es que cada civilización se desarrolle tanto como le sea posible con el fin de entender el universo. De esta manera, cada individuo en cada civilización tendría que intentar dejar alguna aportación sobre la que las generaciones venideras puedan construir; tendría que elegir algo de entre el mundo deportivo, el mundo artístico y el mundo científico para trabajar en ello a lo largo de su vida.

Claro, esta selección cósmica es una interpretación personal de lo que significa la vida, pero estoy convencido de que urgen ideas alternativas sobre cuál es nuestro lugar respecto a todo lo que nos rodea. Como sea, lo que subrayo de todo esto es la necesidad de que cada humano intente, a lo largo de su vida,  hacer este mundo un poco menos distópico.

Conclusión

Con una mirada matemática, aprendemos a cuestionar el porqué de todo. Conseguimos también el hábito de cuestionar hasta lo que parece evidente, y con ello, la costumbre de buscar la verdad. Por tanto, su difusión en todos los niveles y su adecuada enseñanza, puede ser la clave para retomar el desarrollo crítico colectivo que ha estado congelado por un largo tiempo.